Научная карьера Феликса Клейна  развивалась так стремительно, как ни одна другая в немецкой истории.

​

Он стал ординарным профессором, достиг вершины научной иерархии, когда ему исполнилось  двадцать три года.

 

Клейн напечатал ряд работ о решении уравнений 5-й,
6-й и 7-й степеней, об интегрировании дифференциальных  уравнений, об абелевых функциях, о неевклидовой геометрии, исследовал  теорию волчка.

В 1872 году Клейн становится профессором Эрлангенского университета. Здесь он опубликовал свою знаменитую "Эрлангенскую программу" («Сравнительное рассмотрение новых геометрических исследований»).

 

После программы Клейн обращается к теории алгебраических функций. Он  опубликовал более 20 работ по неевклидовой геометрии, теории групп Ли, теории многогранников и эллиптическим функциям.

Он построил пример односторонней поверхности – «бутылку Клейна»,  начал издавать «Энциклопедию математических наук».

 

В начале XX века Клейн принял активное участие в реформе школьного образования в ряде стран.

 

В 1915 году Феликса Клейна увлекли новые физические идеи А.Эйнштейна. Он начал читать курс лекций по теории инвариантов и их приложениям в классической и специальной теории относительности. 

 

Многогранна организационная и общественная деятельность Клейна. 50 лет он руководил изданием одного из основных математических журналов. Значительную часть времени и сил тратил Клейн на разработку проблем школьного преподавания математики и подготовку учителей, чем до него не занимался ни один математик такого масштаба.

Ещё при жизни Клейна вышел трёхтомник его сочинений.

Именем Феликса Клейна названы:

• Математический центр в Германии;

• Кратер на обратной стороне Луны;

• Приз Европейского математического общества;

• Медаль Международной комиссии
   по математическому образованию.

​

Имя Клейна носят математические объекты:

• группа Клейна;

• модель (интерпретация) Клейна;

• бутылка (поверхность) Клейна.

​